Bac ES Juin 2018 Polynésie

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Correction des exercices obligatoires et de l’exercice de spécialité du bac ES Juin 2018 Polynésie


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Exercice 1

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0;3] par f(x) = x2 (1−lnx)

 


1 – Réponse A    f(x)=0   ⇔   x2(1−lnx)=0   ⇔   x2=0  ou  1−lnx=0      or x ∈ ]0;3]  donc  lnx=1    et donc   x=e

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2Réponse B   Cf admet un point d’inflexion lorsque f” s’annule en changeant de signe.  f”(x) = −1−2lnx

                          −1−2lnx ≥ 0   ⇔   −2lnx ≥ 1    ⇔    lnx ≤ −1/2    ⇔    x ≤ e-1/2    ⇔    x ≤ \frac{1}{\sqrt{e}}

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3Réponse A   f(x) = x2 (1−lnx)      f est de la forme U x V       et      f ‘ = U’ V + U V’

                                    U(x) = x2      et      U′(x) = 2x           V(x) = 1−lnx      et      V′(x) = – 1/x

                                    f′(x) = 2x (1−lnx) − x2 × 1/x = 2x − 2xlnx − x = x − 2x lnx = x ( 1 − 2lnx )

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4Réponse C    f′′(x) < 0 sur l’intervalle ] \frac{1}{\sqrt{e}} ; 3 ]  donc f′ est décroissante sur  ] \frac{1}{\sqrt{e}} ; 3 ]   et  donc f’ est décroissante sur ] 1 ; 3 ]

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 5Réponse C    L’équation réduite de la tangente à Cf au point d’abscisse e est:     y = f′(e)(x−e) + f(e)

                            Or   f′(e) = e (1 – 2lne) = e (1 – 2) = −e      et    f(e) = e2 (1−lne) = e2 (1−1) = 0

                            Une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse e est donc:       y = −e(x−e)   soit    y = −ex + e2

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Exercice 2

 

Partie A Une entreprise est composée de 3 services A, B et C d’effectifs respectifs 450, 230 et 320 employés.

 

1 – a. La probabilité que l’employé fasse partie du service A est:     P(A) = \frac{450}{450+230+320} = 0,45

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1 – b. D’après l’énoncé 40% des employés du service A résident à moins de 30 minutes:  PA(T) = 0,4

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1 – c. Arbre de probabilités:

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 2 – P(A∩T) = P(A) × PA(T) = 0,45 × 0,4 = 0,18

      La probabilité que l’employé choisi soit du service A et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail est donc égale à 0,18

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3 – D’après la loi des probabilités totales on a:        P(T) = P(A∩T) + P(B∩T) + P(C∩T) = P(A∩T) + P(B) × PB(T) + P(B) × PB(T)

          P(T) = 0.18 + 0,23 × 0, 2+ 0,32 × 0,8           P(T) = 0,482

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4 – On cherche  P_{\overline{T}}(C)       P_{\overline{T}}(C)=\dfrac{P(\overline{T}\cap C)}{P(\overline{T})}=\dfrac{P(\overline{T}\cap C)}{1-P(T)}=\dfrac{0.32\times{0.2}}{1-0.482}=\dfrac{0.64}{0.518}\approx 0.124            P_{\overline{T}}(C) ≈ 0,124

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5L’épreuve comporte deux issues: succès ou échec.        

      Le succès est «l’employé réside à moins de 30 minutes de l’entreprise».          Probabilité du succès: p = 0,482                   

      Cette épreuve est répétée 5 fois de manière identique et indépendante.

      La variable aléatoire X qui donne le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres: n = 5   p = 0,482

    P(X=2) = \ds \binom{5}{2}\times 0,482^2\times 0.512^{5-2}\approx 0.323

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Partie B Soit X la variable aléatoire qui, à chaque employé en France, associe son temps de trajet quotidien, en minutes, entre son domicile et l’entreprise. 

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1 – La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance μ=40 et d’écart-type σ=10

      P( 20 ≤ X ≤ 60 ) = P( 40 − 2×10 ≤ X ≤ 40 + 2×10 ) = P( μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ ) ≈ 0,954

         Par symétrie de la courbe par rapport à μ=40:         P( 20 X 40 ) = \frac{1}{2} P( 20 ≤ X ≤ 60 ) ≈ 0,477

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2 – P( X > 50 ) = P( X > 40 ) − P( 40 < X < 50 ) = 0,5 − P( 40 < X < 50 )

       A l’aide de la calculatrice on trouve: P( X > 50 ) ≈ 0,159

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3 – On cherche une valeur approchée du nombre a tel que P(X > a) = 0,2

      A l’aide de la calculatrice ( Inverse Loi Normale ), on trouve a ≈ 48

      D’après la calculatrice P(20⩽X⩽40)≈0,477:          Environ 20% des employés mettent plus 48 minutes pour se rendre à leur travail.

 

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Partie C Cette entreprise souhaite faire une offre de transport auprès de ses employés.

 

   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% est  I = \left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]


.   L’amplitude de cet intervalle est donc f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-( f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}) = 2\dfrac{1}{\sqrt{n}}

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     2\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 0,15   ⇔    \dfrac{2}{0.15} < \sqrt{n}    ⇔    \dfrac{40}{3} < \sqrt{n}    ⇔    n > \dfrac{1600}{9}         \dfrac{1600}{9}\approx{177,8}

                    Il faut donc consulter au moins 178 employés.

 


Exercice 3 Candidats de ES n’ayant pas suivis l’enseignement de spécialité

 

En économie le résultat net désigne la différence entre la recette et les charges d’une entreprise sur une période donnée.

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1 – U0 = 10 000: résultat de Janvier 2018      U2: résultat de Mars 2018          Un+1 = 1.02 Un – 500

          U1 = 1,02 × 10 000 − 500 = 9 700          U2 = 1,02 × 9 700 − 500 =9 394

          Le résultat à la fin du mois de mars 2018 est de 9 394 €

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2 – a. Pour tout entier naturel n on a:        an = Un−25 000

           an+1 = Un+1 − 25 000 = 1,02 Un − 500 − 25 000 = 1,02 Un − 25 500 = 1,02 (Un+25 000) = 1,02 an

          a0 = U0−25 000 = 10 000−25 000 = −15 000


.         La suite 
(an) est donc géométrique de raison 1,02 et de premier terme a0 = −15 000

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2b. La suite (an) est géométrique donc    an = U0 × qn       an = −15 000 × 1,02n

          an = Un−25 000     ⇔    Un = 25 000 + an     ⇔    Un = 25 000 − 15 000 × 1,02n

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2c. 25 000 − 15 000 × 1,02n > 0    

           −15 000 × 1,02n > −25 000    ⇔    1,02n\dfrac{5}{3}    ⇔    ln (1,02n) < ln (\dfrac{5}{3})   ⇔   n ln (1,02) < ln(\dfrac{5}{3})    ⇔   n < \dfrac{ln(\dfrac{5}{3})}{ln (1,02)}    

.            \dfrac{ln(\dfrac{5}{3})}{ln (1,02)}\approx 25,8       donc   n ⩽ 25       Le résultat net de Pierre est positif jusqu’au 25ème mois soit jusqu’à fin février 2020

 

3 – Algorithme                    U←10 000

                                            S←0

                                            N←0

                                            Tant que U > 0                                           

                                            S← S + U                                           

                                            U←1,02 × U − 500

                                            N←N + 1

                                            Fin tant que

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Exercice 3 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

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Partie A Un journaliste britannique d’une revue consacrée à l’automobile doit tester les autoroutes françaises.

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 1 – a. Le graphe a 6 sommets, il est donc d’ordre 6.

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1 – b. Le sommet P n’est pas relié au sommet M, donc le graphe n’est pas complet.

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2 – a. Degrés des sommets :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Sommet}&B&L&M&N&P&T \\ \hline \text{degre}&4&5&2&3&4&4\\ \hline \end{array}


.           Le graphe possède exactement 
2 sommets L et N de degrés impairs. Il possède donc une chaîne Eulérienne.
.           Il est possible pour le journaliste de parcourir chacune des liaisons une et une seule fois.

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2b. Tous les sommets ne sont pas de degré pair donc le graphe ne possède pas de cycle eulérien.

          Le journaliste ne pourra pas louer sa voiture dans un aéroport parisien,

          parcourir chacune des liaisons une et une seule fois puis rendre la voiture dans le même aéroport.

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3 – a. Matrice d’adjacence, avec les sommets rangés par ordre alphabétique (B,L,M,N,P,T):

 

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}


3b. Le nombre de trajets de longueur 3 peut se lire dans la matrice G3;

               Le coefficients de la ligne 5 (sommet P) et de la colonne 3 (sommet M) donne le nombre de trajets de longueur 3.  

            Il existe donc 5 trajets possibles pour aller de Paris à Marseille en trois jours en s’arrêtant chaque jour dans une ville différente.

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Partie B On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps nécessaire en minutes pour parcourir chacune des liaisons autoroutières.

 

          Algorithme de Dijkstra :     

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline B&L&M&N&P&T&\text{sommet}\\ \hline &&&0&&&N \\ \hline 206(N)&396(N)&&\phantom{222(N)}&222(N)&&B\\ \hline &396(N)&&&222(N)&359(B)&P\\ \hline &396(N)&&&&359(B)&L\\ \hline &&610(L)&&&359(B)&T\\ \hline &&595(T)&&&&M\\ \hline \end{array}

          Le trajet le plus rapide entre Nantes et Marseille est le trajet Nantes – Bordeaux – Toulouse – Marseille.

          Le temps de trajet est alors de 595 minutes.

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Exercice 4

 

Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d’augmenter son chiffre d’affaires.

 

Partie A

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 1La durée nécessaire pour que le produit B dépasse le produit A est de 5,3 mois.

2 – La quantité journalière de 3 000 tonnes sera atteinte au bout de 12,6 mois.

Partie B

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1 – a. La fonction h modélise la quantité totale exprimée en tonnes de produits A et B fabriqués par l’usine.

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1 – b. h(x) = 2 000e−0,2x + 15x2 + 50x       La fonction h est dérivable sur [ 0 ; 14 ]

          h′(x) = 2 000 × (−0,2) e−0,2x + 15×2x + 50          h′(x) = – 400 e−0,2x + 30x + 50

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2 – a. La fonction h’ est continue et strictement croissante sur l’intervalle [ 0 ; 14 ]

            h'(0) = – 400 e0 + 0 + 50 = -350       et     h'(14) = – 400 e−0,2×14 + 30×14 + 50 = – 400 e−2,8 + 470 446

        or    0 ∈ [ −350 ; – 400 e−2,8 + 470 ]

          donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation h'(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [ 0 ; 14 ].

 

           A l’aide de la calculatrice on trouve:      4,1 ≤ α ≤ 4,2

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2b. Sur [ 0 ; α ]  h′(x) ⩽ 0         donc  la fonction h est décroissante sur [ 0 ; α ]

          Sur [ α ; 14 ]  h′(x) ⩾ 0      donc  la fonction h est croissante sur [ α ; 14 ]    

            La fonction h’ admet un minimum pour x = α

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3 – a. Cet algorithme donnera la première valeur de de X telle que Y > 0.

          Or Y représente h'(x), donc l’algorithme donnera la première valeur de x telle que h'(x) > 0.

          D’après la question B.2.a. la variable X contiendra alors la valeur de α à 0,1 près par excès, soit 4,2.

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3b. Si l’on souhaite une valeur approchée de X à 0.001 près, il faut remplacer la ligne    X←X+0,1   par  X←X+0,001

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4a. H(x) = −10 000 e−0,2xx + 5x3 + 25x2        La fonction H est dérivable sur l’intervalle [0;14]

          H′(x) = −10 000 × (−0,2) e−0,2x + 3 × 5 x2 + 2 × 25 x      H′(x) = 2 000e−0,2x + 15x2 + 50x

            H′(x) = h(x)      La fonction H est donc une primitive de la fonction h sur l’intervalle [0;14]

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4b\frac{1}{12-0}\int_{0}^{12}h(x) dx = \frac{1}{12}(H(12) - H(0)) 

          H(12) = \frac{1}{12} (-10 000 e^{-0,2\times 12} + 5\times{12^{3}} + 25\times{12^{2}}) = \frac{1}{12} (-10 000 e^{-2.4}+12 240)

 

         H(0)) = \frac{1}{12} (-10 000 e^{-0,2\times 0} + 5\times {0^{3}} + 25\times {0^{2}}) = 10 000

 

         \frac{1}{12-0}\int_{0}^{12}h(x) dx = \frac{1}{12} (-10 000 e^{-2.4}+22 240)  \approx 1 778


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4c. \frac{1}{12-0}\int_{0}^{12}h(x) dx = \frac{1}{12}(H(12) - H(0)) est la valeur moyenne de la fonction h sur l’intervalle [ 0;12] 

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          Au cours des douze premiers mois, l’usine a donc fabriqué en moyenne 1 778 tonnes de produits A et B par mois.

 


 

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