Bac ES Juin 2018 Antilles Guyane

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Correction des exercices obligatoires et de l’exercice de spécialité du bac ES Juin 2018 Antilles Guyane


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Exercice 1

 

1 – Soit la fonction f définie sur l’intervalle [−10;10] par f(x)=(2x−3)e−3x

          La fonction exponentielle étant strictement positive, on a: f(x)=0  ⇔  2x−3=0  ⇔  x=1,5

          Réponse B

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 2 – Dans un repère (O;I;J) on considère la courbe représentative de la fonction x↦ln(x)

          Equation de la tangente au point d’abscisse a:  y = f′(a) (x−a) + f(a)         f'(x)=\dfrac{1}{x}    donc  f′(1)=1   et   f(1)=0

            Equation de la tangente au point d’abscisse 1:  y = f′(1) (x−1) +f (1)  ⇔   y = 1 (x−1) + 0  ⇔   y = x−1        

          Réponse B

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3 – Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres μ=25 et σ=3

           P(X>t) = 0,025  ⇔  P(X⩽t) = 1 – 0,025 = 0,975          À l’aide de la calculatrice (inverse Loi normale), on trouve t ≈ 30,88    

          Réponse D

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4 – Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre 8 h 30 et 10 h.

         Soit X la variable aléatoire indiquant à quelle heure l’appel est passé. X suit une loi uniforme sur l’intervalle [8,5; 10].

         La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est P(X⩾9)       P(X9 ) = P(9X10) = \dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}         

          Réponse B

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Exercice 2 – Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

 

Partie A      Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages.

 

1 – On obtient l’arbre pondéré suivant :

 

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2 – P(AC) = P(A) × PA(C) = 0,5 × 0,4         P(A∩C) = 0,2

         La probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air »est 0,2

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3 – D’après la loi des probabilités totales, on a:         P(C) = P(TC) + P(AC) + P(FC)

      P(C) = P(T) × PT(C) + P(A∩C) + P(F) × PF(C) = 0,3×0,5 + 0,2 + 0,2×0,9   donc   P(C) = 0,53

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4 – On cherche  PC(A)            P_C(A)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0,2}{0,53}=\dfrac{20}{53}\approx 0,38            PA(C) 0,38

 

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Partie B          On considère 10 parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.

 

1 – L’épreuve comporte deux issues: succès ou échec.        

      Le succès est « Victor obtienne un personnage de type Terre ».          Probabilité du succès: p = 0,3                    

      Cette épreuve est répétée 10 fois de manière identique et indépendante.

      La variable aléatoire Y qui donne le nombre de guirlandes défectueuses suit donc une loi binomiale de paramètres: n = 10 p = 0,3

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2 – P(Y=3) = \ds \binom{10}{3}\times 0,3^3\times 0,7^{10-3}\approx 0,27       

      La probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type « Terre » au début de ses 10 parties est environ égale à 0,27

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3 – P(Y⩾1) = 1 − P(Y=0) = 1-\binom{10}{0}\times 0,3^0\times 0,7^{10-0}\approx 0,97

      La probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses 10 parties est environ égale à 0,97

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Exercice 2 – SPECIALITE

 

Partie A        Franck joue en ligne sur internet.

 

1 – On obtient le graphe probabiliste suivant :

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2 – a. La matrice de transition est M=\begin{pmatrix}0,65&0,35\\0,42&0,58\end{pmatrix}

 

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2 – b. Franck gagne la première partie, donc   P_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}       P_3=\begin{pmatrix}g_3&p_3\end{pmatrix}=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,5695&0,4305\end{pmatrix}

          La probabilité que Franck gagne la troisième partie est 0,5695

 

3 – L’état stable ( x y ) vérifie:      ( x y ) = ( x y ) × M        et        x + y = 1

          \left\{\begin{matrix}x=0,65x+0,42y\\ y=0,35x+0,58y\end{matrix}\right       ⇔     \left\{\begin{matrix}x-0.65x-0,42y=0\\ y-0.58y-0.35x=0\end{matrix}\right      ⇔    \left\{\begin{matrix}0.35x-0,42y=0\\ 0.42y-0.35x=0\end{matrix}\right     ⇔      \left\{\begin{matrix}0.35x-0,42y=0\\ -0.35x+0.42y=0\end{matrix}\right

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              Or x + y = 1     donc   \left\{\begin{matrix}0.35x-0,42y=0\\ x+y=1\end{matrix}\right       ⇔     \left\{\begin{matrix}0.35x-0,42y=0\\ y=1-x\end{matrix}\right      ⇔    \left\{\begin{matrix}0.35x-0,42(1-x)=0\\ y=1-x\end{matrix}\right .

 

       ⇔     \left\{\begin{matrix}0.35x-0,42+0.42x=0\\ y=1-x\end{matrix}\right     ⇔     \left\{\begin{matrix}0.77x-0,42=0\\ y=1-x\end{matrix}\right     ⇔     \left\{\begin{matrix}0.77x=0,42\\ y=1-x\end{matrix}\right     ⇔     \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{6}{11}\\ y=1-\dfrac{6}{11}\end{matrix}\right     ⇔     \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{6}{11}\\ y=\dfrac{5}{11}\end{matrix}\right

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          L’état stable est donc P =  \begin{pmatrix}\dfrac{6}{11}\ \dfrac{5}{11}\end{pmatrix}

          Au bout d’un grand nombre de parties, la probabilité que Franck gagne est  \dfrac{\mathbf{6}}{\mathbf{11}}

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Partie B         Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu’il doit combattre.


1 a. Le graphe est connexe et tous les sommets sont de degré pair, il existe donc un cycle eulérien.

          Il est donc possible, au départ d’une salle quelconque, d’y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.

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1 – b. Un tel chemin est par exemple:      A − B − F − G − E − F − D − E − C − D − B − C − A

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2 – Pour avoir un chemin permettant de se rendre de la salle A à la salle G en passant une et une seule fois par tous les couloirs,

          il faudrait que ces deux sommets soient les seuls sommets de degré impair du graphe.

          Or tous les degrés des sommets sont pairs, donc le graphe ne possède pas de chaîne eulérienne.

          Il n’existe pas de chemin permettant de se rendre de la salle A à la salle G en passant une et une seule fois par tous les couloirs.

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3 – En utilisant l’algorithme de Dijkstra :

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                                       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet} \\ \hline &&&&&&0&G\\ \hline &&&&7(G)&5(G)&&F\\ \hline &27(F)&&8(F)&7(G)&&&E\\ \hline &27(F)&26(E)&8(F)&&&&D\\ \hline &15(D)&13(D)&&&&&C\\ \hline 25(C)&15(D)&&&&&&B\\ \hline 25(C)&&&&&&&A\\ \hline \end{array}

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          En partant de la salle G et en revenant en salle A, le trajet minimal est G – F – D – C – A

           Le nombre minimal de monstres que Franck doit affronter est alors égal à 25.

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Exercice 3         

  On définit deux suites (Un) et (Vn) par, pour tout entier naturel n, U0 = 10       Un+1 = Un + 0,4     et     V0 = 8     Vn+1 = 1,028 Vn

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1 – a. Un+1 Un = 0,4         La suite (Un) est donc arithmétique de raison 0,4


          Vn+1 = 1,028 Vn        La suite (Vn) est une suite géométrique de raison q = 1,028

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1 – b. Pour tout entier naturel n:   Un= U0 + n r    et    Vn = v0 × qn           Un= 10 + 0,4 n     et     Vn = 8 × 1,028n

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2 – A partir du rang 46, et pour tout entier naturel n 46, UnVn

 

3a. Vn est le nombre de millions d’habitants l’année 1800+n:         V10 = 8 × 1,02810 ≈ 10,544

            En 1810, la population de l’Angleterre aurait été denviron 10,544 millions d’habitants.

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3b. On cherche n tel que :        Vn ⩾ 16   ⇔   8 × 1,028n ⩾ 16   ⇔   1,028n ⩾ 2   ⇔   ln (1,028n) ⩾ ln 2   ⇔   n ln 1,028 ⩾ ln 2   ⇔   n ⩾ \dfrac{ln 2}{ln1,028}

          Or      \dfrac{ln 2}{ln1,028} ≈ 25,1          donc      n ⩾ 26       La population de l’Angleterre aurait dépassé 16 millions d’habitants en 1826.

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3c. La suite (Un) modélise le nombre de personnes pouvant être nourries par l’agriculture anglaise durant l’année 1800+n,

          et la suite (Vn) modélise le nombre d’habitants.

          D’après la question 2. Un ≤ Vn pour n ≥ 4.

          C’est donc à partir de 1846 que la population serait devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture.

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Exercice 4

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Partie A

On donne ci-dessus la courbe Cf représentative dans un repère donné d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0; 5] ainsi que les courbes représentatives Cf ′ et Cf ′′ respectivement de la dérivée f ′ et de la dérivée seconde f ′′ de la fonction f .

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1 – D’après la première courbe Cf la fonction f semble atteindre son maximum en xM tel que 1 ⩽ xM ⩽ 2

 

2 – a. D’après la troisième courbe Cf, la fonction f semble positive sur [3;5], donc f semble convexe sur l’intervalle [3;5].

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2 – b. La fonction f′′ s’annule en changeant de signe en un point dont l’abscisse est comprise entre 2 et 3.

          La courbe Cf semble donc admettre un point d’inflexion d’abscisse xI tel que 2 ⩽ xI ⩽ 3.

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3Equation de la tangente au point d’abscisse a:    y = f′(a) (x−a) + f(a)

          Par lecture graphique, on obtient:    f(0)=0     et     f'(0)=2

          Equation de la tangente au point d’abscisse 0:     y = f′(0) (x−0) +f (0)   ⇔   y = 2 (x−0) + 0   ⇔   y = 2x

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4 – Sur [0;1] la fonction f’ est positive, donc I correspond à l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine compris entre:

          la courbe Cf′, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0 et x=1.

 

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Partie B

On donne ci-dessus la courbe Cf représentative dans un repère donné d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0; 5] ainsi que les courbes représentatives Cf ′ et Cf ′′ respectivement de la dérivée f ′ et de la dérivée seconde f ′′ de la fonction f .

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1a. f(x) = (x2 + 2x )e-x          La fonction f est dérivable sur [0; 5] f est de la forme U V         f’ = U’ V + U V’

           avec    U(x) = x2 + 2x    et    V(x) = e-x          U'(x) = 2x    et    V'(x) = – e-x

          f'(x) = (2x+2) e−x + (x2+2x) (-e−x ) = (2x+2−x2−2x) e−x           f'(x) = (−x2+2) e−x

 

1b. e-x > 0 donc la fonction f est du signe de (2−x2)           x2 + 2 = 0 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = −\sqrt{2} ou x = \sqrt{2}

          f’ sera du signe de a = -1 à l’extérieur des racines, donc sur l’intervalle [0;5] f’ sera négative pour 0 ⩽ x ⩽ \sqrt{2} et positive pour x \sqrt{2}

          La fonction f est donc croissante sur l’intervalle [0;\sqrt{2}] et décroissante sur l’intervalle [\sqrt{2};5].


         
Le maximum est obtenu pour x = \sqrt{2}

 

1c. f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2} 2 + 2\sqrt{2} )e\sqrt{2} = (2 + 2\sqrt{2} )e\sqrt{2}          f(\sqrt{2}\approx 1,174

 

2 – La fonction f est une primitive de f’ , donc    \ds\int_0^1 f'(x)\dx  =  f(1)-f(0)  =  f(1)-\left(0^2+2\times0\right)\times 1  =  f(1)

         Les deux valeurs sont donc égales.


 

 

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