Pensez DELTA respirez DELTA vivez DELTA

Polynôme du second degré et Delta

Vous allez rencontrer des équations du second degré dans pratiquement tous les chapitres de Maths en Première S et Terminale S. Soyez attentifs, il se cache sans crier gare dans de nombreux exercices!

ax²+bx+c=0 Y a-t-il un outil mathématiques plus simple et sympathique que Δ ?

D’accord, il faut apprendre par cœur, et plus que par cœur, les quatre formules:

Δ = b² – 4 a c x₁ = x₂ = x₀ =

Cela ne présente pas de difficulté mathématique majeure!

Rajoutez deux ou trois idées très précises sur l’utilisation de Δ:

Si Δ > 0: deux solutions x₁ et x₂ et le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines

Si Δ = 0: une solution x₀ et le polynôme est du signe de a

Si Δ < 0: pas de solution et le polynôme est toujours du signe de a

A partir de là, soyez futé et perspicace, faites la chasse au Delta!

Je vous propose un petit voyage en compagnie de delta dans quelques chapitres de première S et Terminale S.

1. Fonctions trigonométriques: cos² x – 2 cos x – 5 = 0 On pose X = cos x : X² – 2 X – 5 = 0  Attention ! Pensez à vérifier la validité des solutions :
2. Fonction exponentielle : 3 e^2x + e^x + 2 = 0 En posant X = : 3 X² + X + 2 = 0  Attention ! Pensez à vérifier la validité des solutions : e^x > 0
3. Etude de fonction : signe de la dérivée f(x) = 3 x³ -2 x² + x – 5 f'(x) = 9 x² – 4 x + 1
4. Etude du signe de f’ : détermination des racines du polynôme 9 x² – 4 x + 1
5. Equations bicarrées : 4 x⁴+ 2 x² – 8 = 0             En posant X = x² : 4 X² + 2 X – 8 = 0          Attention ! Pensez à vérifier la validité des solutions :

Pour finir cet hommage à delta, offrons-nous un vrai petit exercice de première S:

DELTA et les probabilités

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est présentée ci-dessous:

xi	2	10	15
P(X=xi)	p1	p2	p3

On sait de plus: p₃ = p₁²

Déterminez p₁ pour que l’espérance E(X) soit égale à 7.

Correction: E(X) = + +

On sait que la somme des probabilités est égale à 1: p₁ + p₂ + p₃ = 1

ou p₂ = 1 – p₁ – p₃ soit p₂ = 1 – p₁ – p₁²

E(X) = 2 p₁ + + 15 p₁²

E(X) = 2 p₁ + 10 – 10 p₁ – 10 p₁² + 15 p₁²

E(X) = 5 p₁² – 8 p₁ +10

Or on veut : E(X) = 7 5 p₁² – 8 p₁ +10 = 7 Soit : 5 p₁² – 8 p₁ + 3 = 0

Calculons Delta : Δ = (-8)² – Δ = 64 – 60 Δ = 4

Δ > 0 , il y a donc deux solutions :

p₁1 = p₁2 =

p₁1 = 0,6 d’où p₃ = 0,6² p₃ = 0,36 et p₂ = 1 – p1 – p₁² p₂ = 1 – 0,6 – 0,36      p₂ = 0,04

p₁2 = 1 d’où p₃ = 1² p₃ = 1 et p₂ = 1 – p1 – p₁² p₂ = 1 – 1 – 1         p₂ = -1   Impossible

Une seule solution sera donc retenue: p₁ = 0,6