Pensez DELTA respirez DELTA vivez DELTA
Polynôme du second degré et Delta
Vous allez rencontrer des équations du second degré dans pratiquement tous les chapitres de Maths en Première S et Terminale S. Soyez attentifs, il se cache sans crier gare dans de nombreux exercices!
ax²+bx+c=0 Y a-t-il un outil mathématiques plus simple et sympathique que Δ ?
D’accord, il faut apprendre par cœur, et plus que par cœur, les quatre formules:
Δ = b² – 4 a c x1 = x2 =
x0 =
Cela ne présente pas de difficulté mathématique majeure!
Rajoutez deux ou trois idées très précises sur l’utilisation de Δ:
Si Δ > 0: deux solutions x1 et x2 et le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines
Si Δ = 0: une solution x0 et le polynôme est du signe de a
Si Δ < 0: pas de solution et le polynôme est toujours du signe de a
A partir de là, soyez futé et perspicace, faites la chasse au Delta!
Je vous propose un petit voyage en compagnie de delta dans quelques chapitres de première S et Terminale S.
- Fonctions trigonométriques: cos2 x – 2 cos x – 5 = 0 On pose X = cos x : X² – 2 X – 5 = 0 Attention ! Pensez à vérifier la validité des solutions :
- Fonction exponentielle : 3 e2x + ex + 2 = 0 En posant X =
: 3 X² + X + 2 = 0 Attention ! Pensez à vérifier la validité des solutions : ex > 0
- Etude de fonction : signe de la dérivée f(x) = 3 x3 -2 x2 + x – 5 f'(x) = 9 x2 – 4 x + 1
- Etude du signe de f’ : détermination des racines du polynôme 9 x2 – 4 x + 1
- Equations bicarrées : 4 x⁴+ 2 x² – 8 = 0 En posant X = x² : 4 X² + 2 X – 8 = 0 Attention ! Pensez à vérifier la validité des solutions :
Pour finir cet hommage à delta, offrons-nous un vrai petit exercice de première S:
DELTA et les probabilités
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est présentée ci-dessous:
-
xi
2
10
15
P(X=xi)
p1
p2
p3
On sait de plus: p3 = p12
Déterminez p1 pour que l’espérance E(X) soit égale à 7.
Correction: E(X) = +
+
On sait que la somme des probabilités est égale à 1: p1 + p2 + p3 = 1
ou p2 = 1 – p1 – p3 soit p2 = 1 – p1 – p12
E(X) = 2 p₁ + + 15 p12
E(X) = 2 p₁ + 10 – 10 p₁ – 10 p12 + 15 p12
E(X) = 5 p12 – 8 p₁ +10
Or on veut : E(X) = 7 5 p12 – 8 p₁ +10 = 7 Soit : 5 p12 – 8 p₁ + 3 = 0
Calculons Delta : Δ = (-8)2 – Δ = 64 – 60 Δ = 4
Δ > 0 , il y a donc deux solutions :
p₁1 = p₁2 =
p₁1 = 0,6 d’où p3 = 0,62 p3 = 0,36 et p2 = 1 – p1 – p12 p2 = 1 – 0,6 – 0,36 p2 = 0,04
p₁2 = 1 d’où p3 = 12 p3 = 1 et p2 = 1 – p1 – p12 p2 = 1 – 1 – 1 p2 = -1 Impossible
Une seule solution sera donc retenue: p1 = 0,6